1.1
Bilangan
Asli
Pengertian
Misalkan
terdapat sebuah himpunan, yaitu himpunan A yang terdiri dari bilangan bulat
positif kurang dari lima, maka himpunan itu beranggotakan bilangan 1, 2, 3, dan
4. Ada nama yang khusus untuk bilangan bulat positif itu, yaitu bilangan asli
(natural numbers). Maka istilah bilangan bulat positif dapatlah kita ganti
dengan istilah bilangan asli. Jadi dapat disimpulkan bahwa bilangan asli
merupakan bilangan bulat positif, dimulai dari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
Lambang
Bilangan dan Bilangan
Lambang bilangan
adalah lambang yang menyatakan bilangan. Kita mengenal bermacam-macam lambang
atau symbol, misalnya tanda sama dengan, tanda kurang, tanda tambah, tanda
kali, tanda bagi, tanda lebih besar, dan tanda lebih kecil. Perkataan juga
termasuk lambing, yaitu serangkaian bunyi atau huruf yang menyatakan objek,
pikiran, atau perasaan. Lambang atau symbol adalah tanda, isarat, sasaran atau
alamat.
Sebuah bilangan
dinyatakan oleh satu atau beberapa lambang bilangan. Bilangan 127, misalnya,
terdiri atas lambang bilangan 1, 2, dan 7. Lambang bilangan 1 disini berarti
100, 2 menyatakan 20, sedang 7 menyatakan 7 yang sesungguhnya.
Sifat
Dasar
Ada lima sifat
dasar terhadap proses penjumlahan dan pengalian:
1. Sifat
dasar tertutup
Contoh:
5+2 = 7, 7 merupakan
anggota N
5x2 = 10, 10 merupakan
anggota N
2. Sifat
dasar komutasi
Contoh:
3+1 = 1+3
4 = 4
3x1 = 1x3
3 = 3
3. Sifat
dasar asosiasi
Contoh:
2+(3+1) = (2+3)+1
6 = 6
2(3x1) = (2x3)x1
6 = 6
4. Sifat
dasar distribusi perkalian terhadap penjumlahan
Contoh:
3(2+5) = 3x2 + 3x5
21 = 6 + 15
21 = 21
5. Sifat
dasar identitas terhadap perkalian
Contoh:
2x1 = 2
3x1 = 3
4x1 = 4
Penambahan, Pengurangan, Perkalian,
dan Pembagian
Himpunan bilangan asli adalah tertutup
terhadap penjumlahan dan perkalian. Dibawah ini akan ditunjukkan, bahwa
bilangan asli tidak tertutup terhadap pengurangan dan pembagian.
Ambillah
misalnya 5 dan 3 dari N = {1, 2, 3, 4, 5,…}. 5 – 3 = 2 dan 2 anggota N, tetapi selisih 3 – 5 bukan anggota N.
demikian pula hasil bagi 3 : 5 bukan anggota N, tetapi 4 : 2 = 2 dan 2 anggota N.
Jadi, selisih atau
hasil bagi anggota himpunan N bisa merupakan anggota, bisa juga bukan anngota
N.
Ketaksamaan
dan Pertaksamaan
Kita
katakan 10 lebih besar atau lebih dari pada 7, dan sebaliknya, 7 lebih sedikit
atau kurang dari pada 10, atau 10 lebih 3 dari pada 7. Jika bilangan yang sama
dihubungkan dengan tanda =, maka untuk menyatakan ketaksamaan antara bilangan digunakan tanda > dan <;
misalnya, 10 > 7 dan 7 < 10.
2.2
Bilangan Bulat
Jika
ke dalam himpunan bilangan asli dimasukkan bilangan nol (lambang nya 0), akan
terjadi himpunan bilangan baru, yang kita sebut himpunan bilangan cacah. Selanjutnya, jika ke dalam himpunan
bilangan cacah ini dimasukkan bilangan asli yang bertanda -, akan terjadilah
himpunan bilangan yang disebut himpunan
bilangan bulat.
Faktor,
Bilangan Komposit, dan Bilangan Prima
Jika
a, b, dan c bilangan bulat, dan a.b = c, maka a dan b disebut faktor c, atau
pembagi c, sedangkan c disebut kelipatan a atau b. Jadi, 1, 2, 3, 5, 6, 5, dan 30 adalah faktor 30.
Bilangan bulat dengan bilangan 2 sebagai salah satu faktornya dinamai bilangan bulat genap. Bilangan bulat genap dapat dinyatakan dengan 2k, dimana k
adalah bilangan bulat, misalnya, 6 = 2.3;
-14 = 2 . -7; dan 120 = 2.60.
Dengan
demikian, bilangan bulat ganjil dapat
dinyatakan dengan 2k + 1; misalnya, 11 = 2.5 + 1, dan 17 = 2.8 + 1.
Bilangan
bulat positif, terkecuali bilangan bulat positif 1, dibagi atas dua macam,
yaitu bilangan komposit dan bilangan prima,
Bilangan komposit, ialah bilangan bulat positif, yang dapat dinyatakan
sebagai produk dua bilangan atau lebih, yang masing-masing merupakan bilangan
bulat positif yang bukan 1. Jadi, semua bilangan bulat genap positif, yang
lebih besar dari 2, adalah bilangan komposit. Misalnya 2, 4, 6, 9, dan 12
adalah komposit, karena 4 = 2 x 2; 6 = 2 x 3; 9 = 3 x 3 dan 12 = 2 x 2 x 3
Bilangan
bulat positif yang lain, kecuali bilangan 1, adalah bilangan prima. Bilangan
prima dapat dinyatakan sebagai produk bilangan 1 dengan bilangan 2, atau dengan
bilangan bulat positif ganjil yang bukan 1. Misalnya 2, 3, 5 dan 7 adalah
bilangan prima, sebab 2 = 2 x 1; 3 = 3 x 1;
5 = 5 x 1; dan 7 = 7 x 1
2.3
Bilangan Rasional
Bilangan
Pecahan
Pada dasarnya bilangan pecahan adalah
bilangan yang dibutuhkan untuk mengukur ukuran yang lebih kecil dari 1. Sebuah
pecahan adalah hasil bagi sebuah pembagian; bilangan yang dibagi disebut
pembilang dan pembaginya disebut penyebut. Kedua pecahan atau lebih disebut
senama, jika memiliki penyebut yang sama misalnya 2/7, 9/7, 11/7. Dua
pecahan atau lebih disebut taksenama,
jika tidak memiliki penyebut yang sama misalnya 2/13, 9/3, 11/8 Semua
contoh diatas disebut pecahan positif. Pada mulanya pecahan positiflah yang
dikenal orang, kemudian menyusul pecahan negative. Suatu pecahan disebut
pecahan persepuluh, jika penyebutnya satu pangkat bilangan sepuluh, misalnya 7/10, 24/100, 368/1000 Pecahan
persepuluhan ini dapat pula ditulis sebagai berikut: 0,7; 0,24; dan 0,368 yang
disebut juga pecahan decimal. Suatu pecahan biasa, misalnya 3/4 dapat diubah menjadi
pecahan decimal dengan jalan membagi pembilang dengan penyebutnya. Jadi , 3
dibagi dengan 4 dan diperoleh 0,75. Untuk mengubah 3/8 menjadi
pecahan decimal, kita bagi 3 dengan 8 dan didapat 0,375. Adakalanya pembagian
yang kita lakukan itu menghasilkan angka yang terbatas banyaknya, tetapi
adapula yang tanpa akhir misalnya: 1/3 = 0.33333333……
pecahan decimal seperti 0,33333….
Disebut decimal berulang.
Himpunan
Bilangan Rasional
Apabila himpunan bilangan bulat kita gabungkan dengan himpunan
bilangan pecahan, terbentuklah suatu himpunan baru, yang kita namai himpunan
bilangan rasional.
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b(
b tidak samadengan 0, a,b bulat). Dapat dibuktikan bahwa tiap
pecahan decimal berulang merupakan bilangan rasional. Jika untuk setiap a, b anggota B maka a/b anggota B ( B = himpunan bilangan bulat ), berarti a
habis dibagi dengan b. Jika a/b anggota B, maka ada dua kemungkinan: a/b lebih besar 1, atau a/b lebih kecil 1.
Jadi jika a anggota B, maka a adalah bilangan rasional, tetapi
jika b anggota Ra ( Ra = himpunan
bilangan rasional ), maka b belum tentu bilangan bulat. Sifat dasar yang
terdapat pada himpunan bilangan bulat, semuanya berlaku untuk himpunan bilangan
rasional dengan beberapa tambahan.
Untuk semua bilangan
x, y dalam himpunan bilangan rasional, maka x + y, x – y, x.y, dan x/y (y tidak samadengan 0) adalah dalam himpunan bilangan rasional.
2.4 Bilangan Irasional
Himpunan
Bilangan Irasional
Telah kita ketahui, bahwa himpunan bilangan rasional adalah
himpunan bilangan yang dapat dinyatakan oleh decimal berulang. Jadi tiap
bilangan rasional dapat dinyatakan oleh sebuah decimal berulang, dan tiap
decimal berulang menyatakan sebuah bilangan rasional. Tetapi ada pula decimal
yang tak berulang, misalnya, 1,01001000100001, dimana terdapat satu 0 lebih
banyak di belakang dari pada di depan 1. Contoh lain, e = 2.71828… ( e bilangan
pokok logaritma asli ); π = 3,141592653589…,; akar 2 = 1,414213…; ( lambang √ disebut akar ).
Demikian pula bilangan seperti 1+√2, 3+√2, 4√2, √3, √4, dan √5, dapat diubah menjadi
decimal yang tak berulang. Himpunan bilangan seperti ini disebut himpunan
irasional.
Himpunan bilangan yang tidak dapat ditulis sebagai a/b (a,b bulat dan b tidak samadengan 0 ) disebut himpunan bilangan irasional.
Himpunan bilangan yang terdiri dari desimmal tak berulang.
Dalam hal ini kita menghadapa lambing baru, seperti, √2, √3, √5, dan √7. Telah pula dikatakan
bahwa akar-akar tersebut dapat diubah menjadi decimal yang takberulang.
Selanjutnya bahwa himpunan bilangan seperti ini disebut himpunan bilangan
irasional, salah satu lambang itu telah diganti dengan lambang lain, yaitu
1.414213… lambang √2 jelas berbeda dari lambing 1,414213… ini?
Sebelum menjawab pertanyaan diatas, ada baiknya kita mundur selangkah dengan
terlebih dahulu memperkenalkan suatu lambing lain yaitu an.
Jika a dan n bilangan aslu, maka an berarti axaxa…xa
dengan n factor, jadi an = axaxa…xa (n faktor a). dalam lambing an
(dibaca a pangkat n), a disebut bilangan pokok dan n disebut eksponen.
Contoh:
22 = 2x2 = 4
dibaca 2 pangkat 2 sama dengan 4
23 = 2x2x2 =
8
24 = 2x2x2x2
= 16
32 = 3x3 = 9
33 = 3x3x3 =
27
Untuk setiap b anggota N, ab = ba, jika dan
hanya jika a = b, pada umumnya ab tidak samadengan ba
2.5
Bilangan Real
Himpunan
Bilangan Real
Telah kita ketahui ada
dua jenis bilangan, yaitu bilangan rasional dan bilangan irasional.apakah nama
kedua jenis bilangan ini?. Himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan
irasional membentuk himpunan baru yang disebut himpunan bilangan real.
Atau himpunan bilangan yang dapat dinyatakan oleh decimal
disebut himpunan bilangan real.
Akibat defenisi di atas adalah sebuah bilangan real adalah
rasional atau irasional bergantung apakah desimalnya berulang atau tidak
himpunan bilangan real dapat ditulis sebagai R = {x|- ~ < x < ~).
2.6
Bilangan Kompleks
Bilangan
Imajiner
Telah kita ketahui akar
pangkat 3 dari -8 adalah -2. Tetapi bagaimana dengan √-4? Adakah suatu bilangan
yang, jika dikalikan dengan bilangan itu sendiri menghasilkan -4? Dalam sistem
bilangan real tidak ada bukan -2 bukan pula +2 hasilnya. Operasi untuk menarik
akar pangkat genap dari pada bilangan negative mengharuskan kita menentukan
himpunan bilangan yang baru, yang kita sebut bilangan imajiner. Itu adalah
suatu bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan itu sendiri menghasilkan
bilangan negative. Satuan bilangan imajiner itu dinyatakan dengan huruf i.
Contoh:
i = √-1
i2 = -1
i3 = i2
x i = -i x i = -i
i4 = (i2)2
= (-i)2 = 1
i5 = i4
x I = 1 x I = i
Bilangan
Kompleks
Kombinasi bilangan
imajiner dan bilangan real disebut bilangan kompleks misalnya, 4+3i, -4√2+2i, 7-3i.
a+bi dan a-bi disebut bersekawan a dan b
real.
a+bi da
-a-bi disebut berlawanan.
a disebut bagian real
b disebut bagian imajiner
persamaan kuadrat yang diskriminnnya
negative, kedua akarnya ialah bilangan kompleks bersekawan.
Contoh:
Sederhanakanlah i5 + 3i4
– 5i3 + 6i2 – 3i
Jawab
i5 + 3i4 – 5i3
+ 6i2 – 3i = i + 3 + 5i – 6 – 3i = -3 + 3i
KESIMPULAN
Bilangan asli merupakan
bilangan bulat positif, dimulai dari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
Bilangan bulat adalah bilanagan asli
termasuk 0 baik yang bertanda negatif maupun positif.
Bilangan rasional adalah bilangan yang
dapat dinyatakan sebagai a/b (
b tidak samadengan 0, a,b bulat).
Himpunan bilangan rasional dan himpunan
bilangan irasional membentuk himpunan baru yang disebut himpunan bilangan real.
Kombinasi bilangan imajiner dan bilangan
real disebut bilangan kompleks
